矩阵化对角矩阵的三种方法

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分三步来证

1) 第一类初等变换(即交换两行或两列)"差不多"可以用第三类初等变换来实现.

注意第一类初等变换的行列式是-1, 而第三类初等变换的行列式是1, 不可能完全实现第一类初等变换, 所以效果上稍微会差一些.

用第三类初等变换可以实现(x,y) -> (-y,x)的变换, 具体如下

(x,y) -> (x,x+y) -> (-y,x+y) -> (-y,x)

2) 既然有了行交换(差一个负号)和第三类初等变换, 那么就可以使用Gauss消去法, 把A化成对角阵.

3) 当xy≠0时第三类初等变换可以把diag{x,y}变到diag{1,xy}, 具体如下

[x, 0; 0, y] -> [x, 0; -1, y] -> [0, xy; -1, y] -> [0, xy; -1, -0] -> [1, 0; 0, xy]

最后一步就是带负号的行交换

这样就能把前n-1个对角元逐个归一化

在矩阵对角化的过程中，我们需要求解的是矩阵A相似于对角矩阵D，即存在一个可逆矩阵P，使得PAP^-1 = D。

在这个过程中，我们可以使用矩阵的初等变换来达到对角化的目的。具体来说，我们通常会使用矩阵的列变换来实现对角化，即将矩阵的列向量进行线性组合，使得得到的新的向量与原列向量正交。经过一系列的列变换后，我们最终会得到一个对角矩阵。

在图中所示的过程中，我们看到右下角的$2\times2$矩阵可以通过初等行变换转化为一个对角矩阵。这个过程是因为我们可以将$2\times2$矩阵写成一个特殊形式的矩阵，称为Jordan矩阵。Jordan矩阵有一个重要的性质：它可以通过初等行变换转化为对角矩阵。这是一个非常重要的结论，在矩阵的理论和应用中都有着广泛的应用。

因此，在矩阵对角化的过程中，我们可以将矩阵进行初等变换，将矩阵变成Jordan矩阵的形式，然后再将Jordan矩阵转化为对角矩阵。这就是图中所示的过程。

补充一下，这个性质被称为行列式的按行（列）展开定理。根据这个定理，我们可以通过对任意一行（或一列）进行展开来计算矩阵的行列式。

在这个例子中，我们选择了第三列进行展开，并应用了按行（列）展开定理得到了结果。这个过程实际上是将矩阵的行列式转化为一个更小的矩阵的行列式。因为我们通过删除了第三列来得到了一个$2\times2$的余子式，所以最终的行列式就是这个余子式与λ-2的乘积。

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