求伏尼契手稿

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伏尼契手稿编辑

威尔弗雷德·伏尼契手稿中有天体、奇形怪状的植物等奇怪的装饰，并且以奇特的文字写成，与任何已知语言都对不起来。这份手稿目前收藏在美国耶鲁大学贝内克珍本书与手稿图书馆中。

中文名

伏尼契手稿

外文名

The Voynich manuscript

内 容

有天体、植物

收 藏

美国耶鲁大学贝内克珍本书

破 解

至今无人破解

文 字

文字是由左至右书写

目录

1简介

2关于原文

3破译？

4破解

5专家推理

6其他观点

7最新发现

8相关争议

1简介编辑

——谜题

伏尼契手稿（Voynich manuscript）是一份内容不明的神秘书籍，附有插图，书成大约在400年前（另一说是成书于600年前[1] ），书中所用字母及语言至今无人能识别。手稿中有天体、幻想植物和裸女等奇怪的装饰，并且以奇特的文字写成，与任何已知语言都对不起来。

1912 年，美国珍本书商威尔弗雷德·伏尼契（Wilfrid Voynich）在罗马附近一所耶稣会大学图书馆的地下，找到他一生中最大的发现：一份厚达230多页，以奇特字体写成的手稿，手稿中还有许多植物、天体和出浴美女等奇异的。伏尼契立刻认定这是极为重要的新发现。这份手稿虽然看来像是中世纪炼金术士或草药医生的参考书，但似乎完全以密码写成。从插图中的发型等特征看来，这本书的制作时间应该介于1470~1500年间，手稿上的信中的17世纪字母说明，这份手稿在1586年由神圣罗马帝国的鲁道夫二世收购。 1600年代，至少有十位学者曾试图解读这份手稿，后来它消失了将近250年，直到伏尼契发现才重见天日。

伏尼契敦请当时顶尖的密码学家破解这份奇特的手稿，但它似乎和任何已知的密码语言都对不起来。90年来，许多世界顶尖的译码专家努力钻研，但是没有人能破解这种称为「伏尼契文」的文字，这份手稿的真面目和来源仍是个谜。一连串的失败令伏尼契手稿俨然成为密码术历史中的圣杯,让人怀疑手稿是否有内容可供破解。伏尼契文说不定完全没有意义，手稿也可能只是个精心设计的骗局。

这份手稿收藏在美国耶鲁大学贝内克珍本书与手稿图书馆中。

2关于原文编辑

由右边不对称的段落推断，文字是由左至右书写。段落没有明显的标点符号。从流畅的字型及排列整齐，似乎誊写员清楚明白自己在写什么，而不是落笔前故意逐字编造。

手稿含有17万个字迹，字迹之间有窄分隔，大部分由一至两笔写成。一套有20至30种不同字迹的字母系统几乎说明了整个手稿。关于某些字迹是否为个别字母存在一些争论。部分奇怪的字母仅出现一或两次。较阔的分隔可分辨出约3.5万个不同长度的“词汇”，大致符合语音学的规律，例如部分字母在每一个词汇经常出现（正如英语的韵母）等。

统计分析发现，文稿的文字规律与自然语言类似。例如，词汇的出现频率符合齐夫定律，而词汇的熵（每词约10位元）亦与英语或拉丁语相类似。

然而，手稿的语言与欧洲语言不太相似。例如，几乎没有词汇是多过10个字母，亦几乎没有1或2个字母的词汇。词汇内的字母分布独特，有些字母仅出现在字首，有些在字尾，有些在词汇中间，这特点与阿拉伯字母相似，但不见于拉丁字母、希腊字母或西里尔字母。词汇的重复程度也高于一般欧洲语言。同一词汇可能一气出现三次（相当于在英语出现and and and）。统计学上，手稿的词汇数目相对较少。

3破译？编辑

它曾经难倒过许多20世纪顶尖的密码学家。美国的密码破译之父——赫伯特·奥斯本·亚德利[2] 曾在一战期间破解过德国人和日本人的密码，却对这份手稿束手无策。破解密码的关键在于找到其中的“破绽”，它是泄露天机的规则。难以置信，在伏尼契密码面前，各种语言的统计规律统统失效。

手稿中的图画与文艺复兴时期的玻璃遥相呼应

线索

威尼斯的弗朗切斯科家族从威尼斯建城伊始就从事商业政治与学术。弗朗切斯科·达·莫斯托是一名威尼斯著名的建筑学家和历史学家，他对手稿中的图画提出了自己的看法：“这是一个容器，这有点特别，这种材料不像是金属，很脆弱但你可以随意摆弄它，没错，这有点像玻璃。” “容器的底座像是那个时期的威尼斯玻璃。制作玻璃有很多秘方，在当时，没有人可以把这些秘方泄漏出去：玻璃的制作过程所用的材料组成部门都有很严格的规定，泄漏出去会遭到严厉的惩罚。” “有些人去了法国，威尼斯共和国就写信给他们说：‘如果你泄漏了秘密，你的家人就会有大麻烦，或者我们会杀了你。’ ”

弗朗切斯科认为伏尼契手稿的作者是中世纪的商业间谍，窃取并贩卖威尼斯人的商业秘密，为隐瞒意图用似乎无法破解的密码书写了这份手稿。

追踪

罗莎·曼塔斯蒂是威尼斯早期玻璃专家，在穆拉诺玻璃博物馆的保管室里存有一些文艺复兴时期的玻璃，手稿中的图画似乎与它们遥相呼应。

斯福尔扎家族密码引索（局部）

破译

密码学家约翰·查德威克认为，密码学的核心在于演绎和控制试验，“形成假说，进行检验，频繁地抛弃假说”。如何向他人证明某种破译方案是正确的，也并非易事，它需要密码破译者提供4个步骤：其一：指出密码系统及其密钥；续而：针对密文进行加密过程的逆过程，得出待检验的明文；其三：确保明文是有意义的信息，而非胡言乱语；最后：密钥可以简洁地表达。

4与40

对于试图破译《伏尼契手稿》的人而言，上述4个步骤是无法逾越的屏障。英国基尔大学高级讲师、知识建模小组组长，开放大学高级客座研究员戈登·鲁格宣布，《伏尼契手稿》是一场精妙绝伦的骗局，首要嫌犯是伊丽莎白女王的一名律师，他可能是利用一种“卡登格”，把字母等符号写在方格里，然后用一张有着规则的孔的卡片盖住，把从孔中露出的符号拼凑起来造出假冒的“单词”。

密码专家菲利普·辛纳格拉认为手稿的密码系统与复兴时期米兰的某个系统相似，强大的斯福尔扎家族曾经使用过这个密码系统。”这是米兰斯福尔家族的密码索引，上面是密码字母。我们发现4所代表的是C，40代表是S，伏尼契手稿里也有这个密码，符号相同，4和40。”（注：读作四零）

综合(9张)

另一条线索

“世界上圆形的城镇共有9个，我能想起的一个是巴格达，一个是耶路撒冷，米兰也是圆的。如果这是一座城市中间就是有塔的城堡还有相当独特的V型的城垛。“米兰的城垛也是V形的。

15世纪的米兰非常强大，常常与邻近的威尼斯大动干戈。它由强大的斯福尔扎王朝统治。在米兰的中心正是斯福尔扎的城堡。如今斯福尔扎里的菲拉雷特塔已经成为米兰的地标，它与手稿中图画十分相似。在十九世纪重建以前，城堡最古老的部分是一座独立的V形城堡，它立在护城河的中央，守候着城堡。

V形城垛

菲拉雷特塔以建筑师安东尼奥·阿维利诺的名字命名，他的名字绰号为”菲拉雷特“意为”崇尚美德的人“。

公元1400左右，阿维利诺生于佛罗伦萨，后经培训成为一名建筑师，他在罗马居住过一段时期，因为被控参与盗窃施洗者圣约翰的头颅的行动而入狱，出狱后他逃到威尼斯然后前往米兰。

菲拉雷特约在米兰奠定了新建筑传统

他最大的成就不是建筑而是一本书，名为“建筑论文”，他在书中描述了自己想像中的理想城市，在1465年完成，他在书中使用大量的密码和暗语，这也成为他是伏尼契手稿作者的重要依据。

弗朗切斯科这样大笑着评论说：“他把灵魂卖给了魔鬼！”

（注：关于建筑师安东尼奥·阿维利诺。他在米兰工作了十五年，设计了 菲拉雷特塔，和他最大的成就之一——。曾学习过密码。）

4破解编辑

1921年，出现了第一个宣称破解伏尼契手稿的人。美国宾州大学哲学教授纽柏德指出，伏尼契文字的字母中包含放大后才看得见的小笔画，这些笔画是古希腊速记文字。依据由密码读出的内容，纽柏德断定伏尼契手稿是13世纪的哲学科学家培根（Roger Bacon）所撰写，旨在描述他的发现，例如显微镜的发明等。但不到10年，批评者就推翻了纽柏德的说法，证明所谓字母中的细小笔画其实是墨水的自然裂痕。

手稿插图，有人认为这是圆形的城市（城堡）

纽柏德的努力只是一连串失败的开始。1940年代，业余的解码家菲利和史壮运用密码代换法，将伏尼契文字母转译成罗马字母，但如此转译出来的文字没什么意义。二次世界大战末期，曾破解日本海军密码的美国军方密码人员，利用闲暇研究古代密文。他们破解了所有密文，唯一无法破解的就是伏尼契手稿。

1978年，业余文献研究者史托济科指出，这种文字是以去掉元音的乌克兰文写成，不过他转译出来的内容（包括「小上帝的眼睛要争夺的是空虚」）并不符合手稿上的插图，跟乌克兰历史也没什么关系。1987年，医师利瓦伊托夫指出，这份文件由在中世纪法国相当盛行的净化派（Cathar）信徒所制作，伏尼契文则是多种语言的混合体。不过利瓦伊托夫译写出来的内容也和净化派完整保存的教义不相符合。

此外，这些解答方案在碰到相同的伏尼契字时，往往在手稿中某些部份用的是一种翻译，在其它部份用的又是另一种翻译。举例来说，纽柏德的解答中包含以回文方式解译文字，这种方式是出了名的不精确。例如ADER这字就可以看成READ、DARE或DEAR。大多数学者认为，这些伏尼契手稿破解方法多少都有令人无法信服的地方。另外，这些方法都无法将明文（看得懂的文字）转译成与伏尼契文特性相同的密文。

如果手稿不是密码，那么会是一种不为人知的文字吗？虽然我们无法解译内容，但看得出它具有惊人的规则性。举例来说，最常见的一些字每行会出现两三次。在写出文字时，我使用欧洲伏尼契字母（EVA）将伏尼契文转写成罗马字母（请参见右页〈伏尼契文ABC〉）。手稿第78页有一段是这样的：qokedy qokedy dal qokedy qokedy。这种重复程度在任何已知语言中都不曾出现。相反地，伏尼契文中只有极少数词组，在词组中，两三个不同的字会规律地一起出现。这些特征显示伏尼契文不大可能是人类语言，因为和其它语言差别实在太大了。

第三种可能是，这份手稿是用来诈财的骗局，或是某个疯狂炼金术士的信手涂鸦。手稿在语言学上的复杂程度，似乎可以反驳这种说法。手稿中的文字，除了会重复出现，其本身的组成结构也有相当的规律性。例如经常出现的音节qo一定位于前缀。chek这个音节有时会出现在前缀，但如果和qo出现在同一个字中，chek一定会在qo之后。常见的音节dy通常出现在字尾，偶尔会出现在前缀，但从来没有出现在字的中间。

光靠随机混合音节的假造方式，不可能产生规律性这么高的文字。伏尼契文也比脑部损伤或有心理疾病的患者所使用的病态语言复杂得多。即使发疯的炼金术士真的为某种胡诌的语言制订了文法，又花了好几年时间依据这种文法写作，写出的东西也不会具备伏尼契手稿的各种统计特征。举例来说，伏尼契文的文字长度呈现二项分布，也就是最常见的字由5~6个字母组成，字母较多或较少的字，出现的频率和对称钟形曲线的最高峰相比，大幅降低。这种分布在人类语言中极为罕见。在绝大多数人类语言中，字长的分布较广而且不对称，比较长的字出现频率会比较高。伏尼契文字长度的二项分布，不太可能是骗子刻意编造出来的，因为这种统计概念要到手稿写就后数百年才会出现。

5专家推理编辑

总而言之，伏尼契手稿若不是极为罕见的密码或奇怪的未知文字，就是个精心设计的骗局，以往一直没有明确的方法可以打开僵局。刚好几年前，我同事海德和我正在寻找这样的谜团。我们发展出一种深入的评估方法，用来分析与探讨在研究难题时使用的专门知识和推理过程。

认为伏尼契文的特征与人类语言不一致的说法，有大量的语言学相关专门知识做为后盾。这个结论看来相当可靠，因此我进一步研究骗局说。大多数研究过伏尼契手稿的人认为伏尼契文十分复杂，不可能是骗局。但这种说法只是单纯的想法，没有实际证据。没有专家研究过如何摹写大段中世纪密文，因为要找到真实文字的实例都不容易，想要找出假造的文字就更难了。

几位研究人员，包括巴西坎皮纳斯大学的史托非等，曾经怀疑伏尼契手稿是以随机文字产生表制作出来的。这种表中列出了字母或音节，使用者选择一连串格子（可能是掷骰子决定），将格子中的字母或音节组合成一个字。这种方法可能产生伏尼契文字中的某些规则性。在史托非的方法中，表中第一栏是qo等只会出现在前缀的前缀音节，第二栏是chek等中缀（出现在字中间）音节，第三栏为y等后缀音节。依序从每栏选出一个音节，就可造出具伏尼契文特征的字。某些格子可能是空的，这样就可以造出没有前缀、中缀或后缀的字。

不过伏尼契文的其它特征就没这么容易仿造了。举例来说，有些字母很常见，但极少连在一起。转写为a、e、l的字母很常见，al的组合也常见，但el的组合就很少。透过表格随机混合字母无法做出这种效果，因此史托非等人排除了这种方法。真正的关键是「随机」。对现代的研究人员而言，随机是非常宝贵的概念。但手稿写成之后过了很久，这种概念才发展出来。中世纪的骗子很可能用不同的方法来组合音节，而这种方法在严格的统计定义上不是随机的。伏尼契文某些特征可能是以一种早已弃而不用的工具所造成的。

此书的标题无人理解，便干脆以伏尼契，一位波兰籍科学家兼藏书家的名字命名，他同时是小说《牛虻》的作者的丈夫。1912年，伏尼契在罗马附近一所耶稣会大学图书馆找到了这份手稿，它在消失将近250年后重见天日。此书大约出现于15世纪末期，曾被神圣罗马帝国皇帝鲁道夫二世以相当于今天8万美元的价钱收购。

反对这个说法的人士则主张，伏尼契文如此复杂，不可能毫无意义。一个中世纪的骗子怎么可能伪造出230页的文字，而且结构和文字的分布又有许多精微的规律呢？但有人发现，只要利用一种16世纪常见的简单编码工具，就可仿造出许多伏尼契文的特征。用这种方式制作出来的文字看起来相当接近伏尼契文，但是完全没有意义，也没有任何隐含的讯息。这个发现并不能证明伏尼契手稿是个骗局，但确实支持了一个存在已久的说法：英国冒险家凯利假造这份文件，用来诈骗鲁道夫二世。据说这个皇帝总共花了600达卡特金币（相当于今天的八万美元）买下这份手稿。

不过可能更重要的是，分析伏尼契手稿之谜所用的方法，也可应用在其它领域的难题上。要解决这个古老谜团，必须旁及好几个领域的专门知识，包括密码学、语言学和中世纪历史等。我研究的主题是「专家推理」，也就是解决复杂问题的过程，因此我将研究伏尼契手稿视为一次非正式测试，试验一下这种方法是否能找出新途径以解决悬宕许久的科学问题。其中最重要的步骤是列出相关领域中专门知识的长处与短处。

6其他观点编辑

于是，在各种猜测中，不可避免地出现了这种声音：“手稿根本就是伪造的，那只是一堆毫无意义的符号。

”如何鉴别一组符号是否包含信息，是知识研究中最令人头疼的问题之一，尽管如此，还是能找到鉴别的办法。

密码学家通常依赖对语言的统计分析。在真正的密码中，字母被符号替代，某些字母组成的“对”应该比其他的“对”更常见，比如在英语中，“th”和“is”是很常见的组合，而“q”后面几乎总是跟着“u”。反过来，有些字母对则相对罕见，如“c”和“d”很常见，但是“cd”组合就很难看到。科学研究认为，这些原理提供了一种鉴别密码真伪的方法。

通过对伏尼契手稿的详细审查，密码学家发现它具备与真实语言非常相似的统计模式。字母或其他符号在文本中的重复程度可用一个统计量“熵”来表示。手稿中的每个字母对应的熵与波利尼西亚语大致吻合。人类的大脑不可能创造出真正的随机性,而伏尼契密码比任何已知的欧洲语言更少随机性，比大多数自然语言更有规则。

威廉姆·庞德斯通曾经有两部著作获得普利策奖提名，他在“令人眼花缭乱”的力作《推理的迷宫》一书中认为，这是支持伏尼契手稿是真正的密码的有力证据，他很难相信，“一部赝品能做得如此精密，竟然骗过了语言统计学”。

在种种加密方案中，有一种因罗马皇帝使用而得名的“恺撒密码”，即一个字母始终用某个字母替换。破译者可以通过识别出最常见的几个字母而轻易破解。恺撒密码共有26种，如果在一份密文中对每一个字母应用不同的恺撒密码，就可以设计出不可破解的密码，即“一次性便笺密码”。

庞德斯通假设《伏尼契手稿》原文是一种基于罗马字母的欧洲语言，其中每个符号对应一个字母，加密方法就是一次性便笺密码。在无法得到“密钥”的情况下，他试着用“暴力法”来检验手稿可能采用的所有加密方案。结果行不通。因为，对于每一个字母都需要检验26种可能性，如果样本包括100个符号，则需要考虑26的100次方种可能性，这个任务无法完成。

更复杂的情况在于，也许伏尼契手稿还采用了除恺撒密码之外的加密方式，因为有很多办法可以把字母转化成符号。

7最新发现编辑

英国贝德福德大学应用语言学教授Stephen Bax近期声称，他成功破译了部分《伏尼契手稿(Voynich manuscript)》，成为历史上第一位破译该手稿的语言学家。在此之前，唯一能破解这600年以来最

难的一本书的人只有--印第安纳·琼斯(**《夺宝奇兵》中主人公)。　这本闻名世界的手稿中有很多奇株异草、星体和神秘人像的插图，并著有大量未知文字。它被视为世界上最神秘的书籍。

《印第安纳·琼斯》三部曲中，印第安纳破解了《伏尼契手稿》，并利用书中信息找到了“贤者之石”。但在现实世界中，这本15世纪的神秘书籍难倒了一众学者，密码员和破译专家绞尽脑汁都无法解开手稿中任何一个词，甚至是一个字符。

Bax教授参考了中世纪各类手稿，并运用闪米特语系中的阿拉伯语来破译《伏尼契手稿》的神秘含义。他结合严谨的语言分析，逐个字符推敲，现在已经破译了17个象征符号，揭示出了10个单词的意思。Bax教授声称，他破译出了包括杜松(juniper)、芫荽、鹿食草 (hellebore)、黑枯茗(Nigella Sativa)、棉花(cotton)和藏红花(saffron)等植物名词，以及希腊神话中半人马的名字喀戎(Chiron)。

Bax教授说：“我不认为这本书来自外星球或是什么魔法师的杰作诸如此类的。我想它本质上就是一本关于大自然的书，不然怎么会画满了植物和各类星体。我破译的第一个单词是‘金牛座(Taurus)’，单词旁边有一幅七星图。这七星图画的是金牛座里的一个叫昂宿星的星团。人们很早就猜到‘金牛座’这个词，我再结合有关手稿方面的知识，几乎可以确定它就是‘金牛座’;以此类推又发现了17处可解的地方，得出了10个单词。我用以阿拉伯文和其他语言文字记载的中世纪药草手稿来破解那些图形，它们中很多都指向植物类，而且会是你意想不到的种类。我觉得，这手稿源自亚洲，因为如果是欧洲的，那我们肯定能窥解一二。手稿上的语言至今仍未被鉴定出来，它是独一无二的，写法很淘气，像来自中土世界。”

他补充道：“我做这一切完全是出于对语言和语言学的喜爱，它对我而言是一个终极挑战。我把目前的研究结果报告出来是为了鼓励其他语言学家能和我一起用这个方法破译整本手稿。此去任重道远，但继续走下去我们一定会弄明白手稿作者到底想告诉我们些什么东西。而我的研究结果也已明确肯定，《伏尼契手稿》并不像某些人所说的只是一场恶作剧。”

用破译‘金牛座’的方法，Bax教授还解得了一个新词‘kantairon’，这是中世纪知名药草矢车菊(Centaury)的另一个叫法。

虽然Bax教授破解的只是手稿中很小的一部分，但在破译界和语言学界都引起了极大回响，他的研究发现对将来全面破解整本《伏尼契手稿》的工作至关重要。

据悉，《伏尼契手稿》最初由一名叫Wilfred Voynich的书商于1912年在一个意大利修道院中发现。早前研究伏尼契手稿的学者推测其发源地是欧洲，但美国特拉华州立大学植物学教授Arthur

Tucker在2月发表言论，否认了这一推测。他强调，书中303种植物中至少有37种生长于中美洲，也就是现在的墨西哥一带。手稿写于15至16世纪，那么很有可能使用的是纳瓦特族(墨西哥南部和中美洲印第安各族)的纳瓦特语。

8相关争议编辑

有人认为伏尼契手稿只是文字显得很复杂的骗局。但另一方面质疑如果是骗局，随之而来的问题：作者为什么会采用这样一个复杂而艰苦的骗局，如果没有一个预期的观众（即创作者的同时代人）？但有人认为，当初这手稿疑似被神圣罗马帝国皇帝鲁道夫二世买下，显然作者是以精美的图，运用卡登格填上文字来骗钱。

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综合(9张)

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参考资料

1． 耶鲁大学藏600年前神秘手稿曝光 ．凤凰网 ．2013-08-01 [引用日期2013-08-1] ．

2． 雅德利 ．百度百科 [引用日期2013-09-19] ．

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历史书籍

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历史

寻求类似于《我的青春谁做主》那样有精彩台词的电视剧或**

高三文科生在复习数学科目时，首先需要掌握数学公式。为了帮助高考考生掌握数学公式，下面我为高三文科生整理数学公式，希望对大家有所帮助!

高三文科数学公式

　一、对数函数

　log.a(MN)=logaM+logN

　loga(M/N)=logaM-logaN

　logaM^n=nlogaM(n=R)

　logbN=logaN/logab(a>0,b>0,N>0 a、b均不等于1)

　二、简单几何体的面积与体积

　S直棱柱侧=c*h(底面周长乘以高)

　S正棱椎侧=1/2*c*h?(底面的周长和斜高的一半)

　设正棱台上、下底面的周长分别为c?，c，斜高为h?,S=1/2*(c+c?)*h

　S圆柱侧=c*l

　S圆台侧=1/2*(c+c?)*l=兀*(r+r?)*l

　S圆锥侧=1/2*c*l=兀*r*l

　S球=4*兀*R^3

　V柱体=S*h

　V锥体=(1/3)*S*h

　V球=(4/3)*兀*R^3

　三、两直线的位置关系及距离公式

　(1)数轴上两点间的距离公式|AB|=|x2-x1|

　(2) 平面上两点A(x1,y1),(x2,y2)间的距离公式

　|AB|=sqr[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]

　(3) 点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式 d=|Ax0+By0+C|/sqr

　(A^2+B^2)

　(4) 两平行直线l1:=Ax+By+C=0,l2=Ax+By+C2=0之间的距离d=|C1-

　C2|/sqr(A^2+B^2)

　同角三角函数的基本关系及诱导公式

　sin(2*k*兀+a)=sin(a)

　cos(2*k*兀+a)=cosa

　tan(2*兀+a)=tana

　sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana

　sin(2*兀-a)=-sina,cos(2*兀-a)=cosa,tan(2*兀-a)=-tana

　sin(兀+a)=-sina

　sin(兀-a)=sina

　cos(兀+a)=-cosa

　cos(兀-a)=-cosa

　tan(兀+a)=tana

　四、二倍角公式及其变形使用

　1、二倍角公式

　sin2a=2*sina*cosa

　cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2*(cosa)^2-1=1-2*(sina)^2

　tan2a=(2*tana)/[1-(tana)^2]

　2、二倍角公式的变形

　(cosa)^2=(1+cos2a)/2

　(sina)^2=(1-cos2a)/2

　tan(a/2)=sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina

　五、正弦定理和余弦定理

　正弦定理:

　a/sinA=b/sinB=c/sinC

　余弦定理:

　a^2=b^2+c^2-2bccosA

　b^2=a^2+c^2-2accosB

　c^2=a^2+b^2-2abcosC

　cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc

　cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac

　cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab

　tan(兀-a)=-tana

　sin(兀/2+a)=cosa

　sin(兀/2-a)=cosa

　cos(兀/2+a)=-sina

　cos(兀/2-a)=sina

　tan(兀/2+a)=-cota

　tan(兀/2-a)=cota

　(sina)^2+(cosa)^2=1

　sina/cosa=tana

　两角和与差的余弦公式

　cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

　cos(a-b)=cosa*cosb-sina*sinb

　两角和与差的正弦公式

　sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb

　sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

　两角和与差的正切公式

　tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tana*tanb)

　tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tana*tanb)

高中数学知识点速记口诀

　1.《集合与函数》

　内容子交并补集，还有幂指对函数。性质奇偶与增减，观察图象最明显。

　复合函数式出现，性质乘法法则辨，若要详细证明它，还须将那定义抓。

　指数与对数函数，两者互为反函数。底数非1的正数，1两边增减变故。

　函数定义域好求。分母不能等于0，偶次方根须非负，零和负数无对数;

　正切函数角不直，余切函数角不平;其余函数实数集，多种情况求交集。

　两个互为反函数，单调性质都相同;图象互为轴对称，Y=X是对称轴;

　求解非常有规律，反解换元定义域;反函数的定义域，原来函数的值域。

　幂函数性质易记，指数化既约分数;函数性质看指数，奇母奇子奇函数，

　奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数;图象第一象限内，函数增减看正负。

　2.《三角函数》

　三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。

　同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割;

　中心记上数字1，连结顶点三角形;向下三角平方和，倒数关系是对角，

　顶点任意一函数，等于后面两根除。诱导公式就是好，负化正后大化小，

　变成税角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变，

　将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值，

　余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。

　计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。

　逆反原则作指导，升幂降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路明。

　万能公式不一般，化为有理式居先。公式顺用和逆用，变形运用加巧用;

　1加余弦想余弦，1减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范;

　三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围;

　利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集;

　3.《不等式》

　解不等式的途径，利用函数的性质。对指无理不等式，化为有理不等式。

　高次向着低次代，步步转化要等价。数形之间互转化，帮助解答作用大。

　证不等式的 方法 ，实数性质威力大。求差与0比大小，作商和1争高下。

　直接困难分析好，思路清晰综合法。非负常用基本式，正面难则反证法。

　还有重要不等式，以及数学归纳法。图形函数来帮助，画图建模构造法。

　4.《数列》

　等差等比两数列，通项公式N项和。两个有限求极限，四则运算顺序换。

　数列问题多变幻，方程化归整体算。数列求和比较难，错位相消巧转换，

　取长补短高斯法，裂项求和公式算。归纳思想非常好，编个程序好思考：

　一算二看三联想，猜测证明不可少。还有数学归纳法，证明步骤程序化：

　首先验证再假定，从K向着K加1，推论过程须详尽，归纳原理来肯定。

　5.《复数》

　虚数单位i一出，数集扩大到复数。一个复数一对数，横纵坐标实虚部。

　对应复平面上点，原点与它连成箭。箭杆与X轴正向，所成便是辐角度。

　箭杆的长即是模，常将数形来结合。代数几何三角式，相互转化试一试。

　代数运算的实质，有i多项式运算。i的正整数次慕，四个数值周期现。

　一些重要的结论，熟记巧用得结果。虚实互化本领大，复数相等来转化。

　利用方程思想解，注意整体代换术。几何运算图上看，加法平行四边形，

　减法三角法则判;乘法除法的运算，逆向顺向做旋转，伸缩全年模长短。

　三角形式的运算，须将辐角和模辨。利用棣莫弗公式，乘方开方极方便。

　辐角运算很奇特，和差是由积商得。四条性质离不得，相等和模与共轭，

　两个不会为实数，比较大小要不得。复数实数很密切，须注意本质区别。

　6.《排列、组合、二项式定理》

　加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。

　两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转化。

　排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。

　不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。排列组合恒等式，定义证明建模试。

　关于二项式定理，中国杨辉三角形。两条性质两公式，函数赋值变换式。

　7.《立体几何》

　点线面三位一体，柱锥 台球 为代表。距离都从点出发，角度皆为线线成。

　垂直平行是重点，证明须弄清概念。线线线面和面面、三对之间循环现。

　方程思想整体求，化归意识动割补。计算之前须证明，画好移出的图形。

　立体几何辅助线，常用垂线和平面。射影概念很重要，对于解题最关键。

　异面直线二面角，体积射影公式活。公理性质三垂线，解决问题一大片。

　8.《平面解析几何》

　有向线段直线圆，椭圆双曲抛物线，参数方程极坐标，数形结合称典范。

　笛卡尔的观点对，点和有序实数对，两者一一来对应，开创几何新途径。

　两种思想相辉映，化归思想打前阵;都说待定系数法，实为方程组思想。

　三种类型集大成，画出曲线求方程，给了方程作曲线，曲线位置关系判。

　四件工具是法宝，坐标思想参数好;平面几何不能丢，旋转变换复数求。

　解析几何是几何，得意忘形学不活。图形直观数入微，数学本是数形学。

高三文科 数学 学习方法

　一：加深理解

　对数学课本里的概念要重新的认识，进一步加深对公式，定理的理解和掌握，认真看书，多练习，全面掌握，结合所有资料，提高解题的能力和更深知识的理解。

　二：认真做笔记

　上课时，一定要认真听，做笔记。听课不只是要听而已，还在积极的思考老师提出的问题，想想如何解决这个问题，应该要用什么方法，什么公式等等。老师上课时讲的，都会有一些的解题方法和思路，还有平时都会出错的问题，如何去解决，判断。所以上课做好笔记是必须的。

　三：反复练习

哲理篇：　1、青楚：谁都有个性，谁也不是生下来就适应社会，环境像是一条河，咱都是河里的石头，一开始各有各形状，头上长角、身上生刺，天长日久被河水冲刷，角啊，刺啊的就都磨成圆的了。　2、霹雳：幸福就是猫吃鱼，狗吃肉，奥特曼打小怪兽。　3、姥姥：如果不能改变结果，那就完善过程。　4、姥姥：现在社会给人灌输的成功观念太单一，你们年轻人追求的无外乎是赚钱、成名，给自己贴上成功标签，千篇一律、千人一面，这是典型的唯结果论。其实不是所有得到结果的都成功，也不是没结果的就失败，我一辈子的体验，是成功藏在过程里，将来回头看，乐趣不在最后撞线那一下，结果是买东西的赠品，好了算赚的，不好也没什么！　5、霹雳：成长的经验是是要靠我们自己获得的， 不是家长的强行灌输。 如果我不栽跟头等于没有经验。早晚有一天还是会跌倒的 ，父母的经验是很宝贵，但是仅供参考 。　6、小样：高齐说的对，我们不仅是自己的，还有责任。　7、雷蕾：她知道她幼稚，但不让她幼稚，她就会一直幼稚下去。　8、姥姥：理智与情感，是人生最难做的一道题。用感情覆盖理智是幼稚，完全理智是空谈，成熟的标志是把两者分开。可以用感性去看问题，但是必须用理智去解决问题。　9、王克：一个人最惨的是什么？就是干他不喜欢的事。比最惨更惨的是，还要干一辈子！　10、周晋：如果说犯错是成长比如付出的代价，那么改错就是成熟的过程。人只有犯过错，才能够知道如何避免以后不犯，即使是这样，也可能永远失去改正的机会，改不了错最折磨人，就像一根刺永远扎在心里，一想就疼。　11、方宇：目光千里之外,两手屁股后边。看得上的够不着,够得着的看不上,想得多,做得少,浮躁,懂吗?　12、周晋：任何事物，光鲜只在表面，藏在背后的永远是不为人知的伤痛！　13、青楚：如果人生没有一次感情用事，那是遗憾。　家庭篇：　1、杨尔：你小姨就是不求上进的性格，不懂得实现自我价值，哪像我，事业心这么强，这就是燕雀跟鸿鹄的区别。　霹雳：我从小就觉得小姨家比咱家温馨，家庭气氛特好。　杨尔：那是他们家俩燕雀凑一块儿了，不像咱家，我一鸿鹄结果也找一燕雀。　2、周晋：谁在年轻的时候都只想离开父母，走得越远越好，不知不觉就走出很远，跟他们隔着千山万水。有一天你猛一回头，发现不管走了多远，始终有一根线连着你和他们，那时候父母已经变老，腿脚不再利索。于是你又得折回头，重回他们身边，跟过去不同的是，你变成大人，他们成了孩子，所有人都是这种轨迹，离开、再回来、分离、再团聚，这就是——家。　3、杨怡：儿女的人生是一艘船，要找有经验的舵手来把握，那谁啊，你妈我。　青楚：我怕你给我开沟里去。　4、姥姥：家就是一个合作社、互助组，一方有难，八方支援。 家是什么？家是中国人几千年赖以生存的条件。家是每个人的安全伞、保护罩，什么都没有了，只要还有家就不至于一无所有。　5、杨尔：我跟你爸离了，你得接受现实。　霹雳：接受呀，离婚的时候我是被缺席宣判的，现在趁3个人都在，补办个遗体告别仪式，瞻仰一下遗容，完了就跟过去彻底告别了。　6、雷蕾：父母的爱就是湿棉袄，穿上难受，脱了冷。当他们俩都围着你转的时候，你就会觉得你涝了。　7、杨尔：小样家的命运告诉我们，教育是人生的第一道底册，妈给上什么颜料，孩子身上就落什么色儿。　8、雷蕾：你觉得父母理所当然都应该为你考虑，可他们也是人啊，当他们的需求跟你的发生冲突时，你要求他们一切为你着想，是不是太自私了？　9、杨怡：沟通啊！你看我跟青楚沟通的多好。有些事说着说着就开了。　小样：对，好多矛盾就是说着说着说出来的。　10、霹雳：最让我感动的是，你和雷力来同志，为乐道西餐厅的死去活来，做出了不可磨灭的贡献。　杨尔：这是咱闺女头回说人话，我算知道软刀子怎么杀人了。　11、霹雳对妈妈说:你的黄昏你做主。　12、钱进来：夫人哪，告诉你一个振奋人心的消息，你家姑娘离家出走了。　爱情篇：　1、小样：你个大傻帽，分明就是一只蜗牛，却偏要抢人家乌龟的壳，你不怕超重压死了你啊。　方宇：“比喻很贴切，可是我听着很别扭，能不能换成螃蟹的壳啊？”　2、霹雳：你们还有没有可能复合？　李博怀杨尔：没有。　杨尔：离了再复那不是历史倒退吗。　李博怀：我跟你妈用了二十年时间证明一个错误，不用再证明。　3、方宇：我不帅，本事不大，挣钱不多，背一身债，还犯过错，你愿意嫁给我吗。　小样：愿意。　小样：我不漂亮，会点京剧、护理和速记，连累你为我背一身的债，还为我犯错，你愿意娶我吗？　方宇：愿意。　4、李博怀：强势男人不合适你，两人都强早晚是个斗。　杨尔：你不强，咱俩也没少斗。　李博怀：那净是你斗我了，这么多年你这个脾气只涨不跌，你跟别人过能习惯才怪。　杨尔：你说实话，跟我过特委屈是吧。　李博怀：是倒是，不过什么态势一长也就习惯了，咱们分手以后，我还老梦见你。　杨尔笑。　李博怀：都是噩梦。　5、小样：不能提你，连方字都不行，我在家看到桌子角都能想起你来。　方宇：你何苦这么自虐呢？那我不来，你还能把家具都磨成圆的？　6、方宇：一会儿冰，一会儿火的，你还真把我当钢炼啊。　7、方宇：爱你，老婆。　小样：我喜欢这个职称。　8、小样：我们喜欢的正经里面带一点不正经，但这一点不正经又不能耽误正经的那种。 女孩都追求安稳，但是又不能太安稳，这安稳里带一点不安分，但这点不安分又不能破坏安稳。　9、方宇：说，你是喜欢他还是喜欢我？　小样：你先说，你是喜欢我呀，还是喜欢我？　10、方宇：阿姨，叔叔，让我给你们家当一辈子包身工吧。　11、高齐：我要把爱情当成一种信念来坚持，（执着地对人好，百折不回）爱情是一种特美丽的事情，与其说是两个人的相处形式，不如说是我们心里面的一种感觉，相恋也好，单恋、失恋也罢，虽然说结果迥异，但都体会了爱的滋味，甜蜜、忧伤、痛苦，哪种是我们享受爱情的形式，所以失恋了还是能拥有爱情，不要因为满足不了就把爱情弄得那么不堪，那样的话，不是爱，是占有，大部分人的爱都停留在占有阶段，很初级，所以才会有那么多的纠缠、怨恨，甚至是相互伤害，当爱的目的不再是占有，爱情就不在跟爱的那人有关，哪种形式你都能享受爱情，我的爱与你无关。　励志篇：　1、小样：别人撞了南墙才回头，而我撞了也不回头，我要跨过去。　2、杨尔：怎么不能合作？内衣跟房产就不能接轨吗？只有想不到的，没有做不到的。　3、小样：我每天吃的有限，穿的有限，花的也可以有限，但是开心必须无限。　4、小样：幸福就是跟我觉得最帅的蚂蚁，为别人眼里的小草，我们眼里的大树，一起努力奋斗。　5、霹雳：在我潜意识里面，有对强权的恐惧，又有得过且过的鸵鸟心态，另一方面，我理想的小火苗这台一闪一闪的不肯熄灭。　6、霹雳：不是父母认为的理想就是理想，理想没有高低贵贱之分。我只是没有实现我妈的理想，不代表我的理想就一样没价值。　7、小样：现在不是倡导张扬个性自我实现呢？可我张扬了，也实现了，后果就灭亡了呢？　8、小样：只要有恒心，铁杵磨成针。　方宇：那得看本身是什么材料，咱俩是木杵顶多磨成牙签。　9、小样：你知道蚂蚁的幸福是什么吗？　方宇：知道，胃口小不贪婪。　小样：我们知足，别人吃一碗还吃不饱，咱俩有一粒就乐半年。　10、小样：渺小怎么了？我们俩都渺小，永远没有推土机成功。咱俩就是奋斗半辈子，也就只是人家那么一撮子。　贫嘴篇：　1、方宇：北京有一KTV名字特吉利，叫钱柜，自打开业那天起就哗哗往里进钱，你那么爱挣钱，我帮你改一名，保证也吉利。　小样：叫钱箱。　方宇：没那么好听——叫钱缸。　2、方宇：你真不枉姓钱，长了一钱串子脑袋。你爸也太没溜（六）了！　3、小样：这么多花啊，真好看，一看就知道是假的。　4、小样：首先不是我主动提出出卖的假条，是学生软磨硬泡求我开的，被拒绝之后他们用金钱利惑我。这买方和卖方市场需求一致交易就这么达成了，可是我没想到着市场需求迅速扩大，好多学生闻风而至，我被架上去，我就没下来。　5、小样：我搁这儿坐一下午了，我越琢磨越觉着大盘跟人生一样。每个人都是一只股票，看到那绿莹莹的一片了吗？我就在里边都快跌停了。这人往高处走，水往低处流，不能只下看这样永远也没有进步，不看那几只红的多扎眼呀！就好比周晋是蓝筹股，青楚是绩优股，霹雳是潜力股，我一个垃圾股。　6、小样：你就剩30块钱了还穷横穷横的，真帅！　7、周晋：明白，糖衣吃掉，炮弹打回。　8、霹雳：你喜欢我们这里(西餐厅)什么特色啊？　顾客：人少，而且我喜欢一堆人围着我转的感觉。　9、钱进来：夫人哪，告诉你一个振奋人心的消息，你家姑娘离家出走了。　10、青楚：死亡就是进入了另一个人生阶段，就好比你推开一扇门走进另一扇门，其实没什么可怕的。　小样：就是说出了这屋进那屋呗。那没准那屋要什么有什么，比这儿还乐呵呢。　青楚：不知道，反正去了那屋的人还没有回来过的。　小样：那是，随便往回溜达也怪吓人的。　11、 青楚：你打算怎么着哇？是跟你妈走啊，还是跟你妈走啊。　方宇对小样：你干脆发挥你特长得了，卖点乡村风格的服装，肯定行。　12、高齐对青楚：你这表妹还挺可爱的。　小样：大家都这么说。　13、方宇：你有一个有点就是——越挫越勇。　小样：讨厌。　方宇：这八个你都能戒了？　小样：那当然，这是我奋斗的座右铭。今后我要凭借它在社会上立于不败之地。　方宇：顶你，以后就叫你八戒了！　小样：你才是猪呢！

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